※ 본 자료 내용의 무단 복제를 금함

본 연구에서 제시된 정책 대안이나 의견 등은 한국교육과정평가원의 공식적인 의견이 아닌 본 연구진의 견해임을 밝혀 둡니다.

대수, 미적분Ⅰ,

확률과 통계

대수, 미적분Ⅰ,

확률과 통계

대수, 미적분Ⅰ, 확률과 통계

Ⅰ. 최소 성취수준 보장지도에 대한 이해 1

1. 고교학점제와 최소 성취수준 보장지도 2

2. 최소 성취수준 보장지도를 위한 자료 개발 6

Ⅱ. 최소 성취수준 보장지도 자료 13

1. 대수 15

가. 지수함수와 로그함수 17

나. 삼각함수 29

다. 수열 37

2. 미적분Ⅰ 47

가. 함수의 극한과 연속 49

나. 미분 59

다. 적분 75

3. 확률과 통계 85

가. 경우의 수 87

나. 확률 95

다. 통계 105

대수, 미적분Ⅰ,

확률과 통계

대수, 미적분Ⅰ,

확률과 통계

대수, 미적분Ⅰ,

확률과 통계

대수, 미적분Ⅰ,

확률과 통계

영역

[12대수01]

지수함수와 로그함수

최소 능력의 수행 특성

㉮안내된 절차에 따라 거듭제곱근 중 실수인 것을 구할 수 있다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 다음은 연우가 ‘의 네제곱근 중 실수인 것’을 구하는 과정에서 수학 챗봇과 나눈 대화의 일부이다. (가)와 (나)에 알맞은 값을 써넣어보자.

[활동 해설]

(가) : (나) :

[문항]

1. 의 세제곱근 중에서 실수인 것을 구하시오.

2. 의 세제곱근 중에서 실수인 것을 구하시오.

[문항 해설]

1. 의 세제곱근을 라고 하면 , 즉 이므로 따라서 세제곱근 중에서 실수인 것은 이다.

2. 의 세제곱근을 라고 하면 , 즉 이므로 따라서 세제곱근 중에서 실수인 것은 이다.

비고

∙[활동]에서 거듭제곱근을 구하려면 방정식을 세우고 이를 이용하여 근을 구할 수 있음을 알게 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 문항으로 활용할 수 있다. 학생의 수준에 따라 거듭제곱근을 구하는 절차를 안내할 수 있고, 그 방식은 빈칸 채우기 등 다양한 방식을 활용할 수 있다.

- 관련 자료 참고:

영역

[12대수01]

지수함수와 로그함수

최소 능력의 수행 특성

㉯지수가 유리수까지 확장될 수 있음을 안다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 서양 음악에서 반음계는 다음과 같이 한 옥타브를 이웃하는 두 음의 높이차가 모두 반음정이 되도록 한 음계이다.

* 출처: 수학Ⅰ(천재교육, 2017, p. 15)

1. 다음은 근호를 사용하여 나타낸 식을 지수로 사용하여 나타내는 과정이다. (가), (나), (다)에 알맞은 값을 써넣어 보자.

[활동 해설]

1. (가) (나) (다)

[문항]

※ 다음 근호를 사용하여 나타낸 식을 지수를 사용하여 나타내시오.

[문항 해설]

비고

∙[활동]에서 거듭제곱근을 지수가 유리수까지 확장된 형태로 바꿀 수 있음을 알게 한다. 이를 바탕으로 근호를 사용하여 나타낸 식을 지수를 사용하여 나타낼 수 있게 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 문항으로 활용할 수 있다. 학생의 수준에 따라 간단한 형태의 지수가 유리수까지 확장된 경우, 그 계산 결과가 자연수가 되는 경우로 제공할 수 있다.

- 관련 자료 참고:

영역

[12대수01]

지수함수와 로그함수

최소 능력의 수행 특성

㉰지수법칙을 부분적으로 안다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 동양에서는 수를 읽을 때 주로 중국과 인도에서 전래한 수사(數詞, 사물의 수량이나 순서를 나타내는 품사)를 이용하는데 오른쪽 표와 같이 ‘불가사의’는 , ‘순식’은 을 나타낸다.

* 출처: 수학Ⅰ(미래엔, 2017, p. 23)

1. 다음은 ‘불가사의’의 시간이 ‘순식’의 시간보다 몇 배나 더 긴 시간을 나타내는지 구하는 과정이다. 아래 빈칸에 알맞은 값을 써넣어 보자.

[활동 해설]

1. (가)

[문항]

※ 다음 식을 간단히 하시오.

[문항 해설]

비고

∙실생활 상황을 적용한 [활동]을 통해 지수법칙에 관심을 가지게 한다.

∙[활동]에서 지수법칙 중 을 이용하는 상황임을 확인하고 이를 적용하여 문제를 해결할 수 있게 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 평가 문항으로 활용할 수 있다. 학생의 수준에 따라 지수법칙 중 을 이용하여 식을 간단히 나타낼 수 있다면 최소 능력의 수행 특성을 보인다고 인정할 수 있다.

- 관련 자료 참고:

영역

[12대수01]

지수함수와 로그함수

최소 능력의 수행 특성

㉱안내된 절차에 따라 간단한 로그의 값을 구할 수 있다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 다음은 로그의 정의와 의 값을 구하는 과정이다. (가), (나)에 알맞은 값을 써넣어 보자.

로 놓으면 로그의 정의에 의하여

이므로

따라서 이다.

[활동 해설]

로 놓으면 로그의 정의에 의하여

이므로

따라서 이다.

(가) (나)

[문항]

※ 다음 값을 구하시오.

[문항 해설]

비고

∙[활동]에서 로그의 정의를 이해하게 한 뒤, 이를 이용하여 간단한 로그의 값을 구할 수 있게 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 문항으로 활용할 수 있다. 학생의 수준에 따라 로그의 정의를 이용하여 간단한 로그의 값을 구하는 절차를 안내할 수 있고, 그 방식은 빈칸 채우기 등 다양한 방식을 활용할 수 있다.

- 관련 자료 참고:

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[12대수01]

지수함수와 로그함수

최소 능력의 수행 특성

㉲안내된 절차에 따라 간단한 상용로그의 값을 구할 수 있다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 다음은 상용로그의 정의와 상용로그 과 의 값을 구하는 과정이다. (가)와 (나)에 알맞은 값을 써넣어 보자.

이고,

이다.

[활동 해설]

이고 이다.

(가) (나)

[문항]

※ 다음 값을 구하시오.

[문항 해설]

비고

∙[활동]에서 상용로그를 이해하게 한 뒤, 로그의 성질을 이용하여 간단한 상용로그의 값을 구할 수 있게 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 문항으로 활용할 수 있다. 학생의 수준에 따라 로그의 성질을 이용하여 간단한 상용로그의 값을 구하는 절차를 안내할 수 있고, 그 방식은 빈칸 채우기 등 다양한 방식을 활용할 수 있다.

- 관련 자료 참고:

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[12대수01]

지수함수와 로그함수

최소 능력의

수행 특성

㉳지수함수 또는 로그함수의 뜻을 안다.

㉶간단한 예를 통해 지수함수와 로그함수에 관심을 가진다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 수타면은 밀가루 반죽을 반으로 접은 후 길게 늘이는 과정을 반복하여 만든 면이다. 이때 한 번 접을 때마다 면의 가닥수는 배씩 늘어나게 된다. 표를 완성하고 (가)에 알맞은 값을 써넣어보자.

1. 아래 표를 완성하시오.

2. 접는 횟수를 , 면의 가닥수를 라 할 때, 와 사이의 관계를 식으로 나타내면

이다.

[활동 해설]

1.

2. (가)

[문항]

※ 다음 중에서 지수함수인 것을 찾으시오.

[문항 해설]

※ 지수함수인 것 : (2)

(1) : 다항함수, (3) : 유리함수, (4) : 무리함수

비고

∙실생활 상황을 적용한 [활동]을 통해 지수함수의 뜻에 관심을 가지게 한다.

∙[활동]에서 접는 횟수에 대응하는 면 가닥수의 관계식을 구하는 과정을 통해 지수함수의 뜻을 알게 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 평가 문항으로 활용할 수 있다. 다양한 함수를 제시하고 그중에 지수함수를 찾는 문항으로 활용할 수 있다.

- 관련 자료 참고:

영역

[12대수01]

지수함수와 로그함수

최소 능력의 수행 특성

㉴안내된 절차에 따라 지수함수 또는 로그함수 의 그래프를 그릴 수 있다.

㉶간단한 예를 통해 지수함수와 로그함수에 관심을 가진다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 다음 값에 대하여 을 만족하는 값을 구하여 아래 표를 완성하고, 알지오매스 대수창에 좌표를 입력해 보자.

[활동 해설]

[문항]

1. 지수함수 의 그래프를 그리시오.

2. 지수함수 의 그래프를 그리시오.

[문항 해설]

비고

∙알지오매스와 같은 공학 도구를 이용한 [활동]을 통해 지수함수 또는 로그함수 에 관심을 가지게 한다.

∙[활동]에서 지수함수 을 만족하는 좌표를 구하고 그래프로 나타내는 활동을 통하여 지수함수 의 그래프를 그릴 수 있게 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 평가 문항으로 활용할 수 있다. 학생의 수준에 따라 지수함수의 그래프 위의 점의 좌표를 구하여 지수함수 과 의 그래프를 그리는 절차를 안내할 수도 있다.

- 관련 자료 참고:

영역

[12대수01]

지수함수와 로그함수

최소 능력의 수행 특성

㉵안내된 절차에 따라 지수함수 또는 로그함수를 활용하여 간단한 방정식의 해를 구할 수 있다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 다음은 알지오매스를 이용하여 지수함수 의 그래프와 직선 를 그린 것이다.

1. 위의 그래프를 이용하여 방정식 를 만족시키는 의 값을 구해 보자.

[활동 해설]

1. 지수함수 는 일대일함수이고, 정의역의 원소 에 대응하는 함숫값은 이다. 즉, 이므로 이다.

[문항]

※ 다음 방정식을 푸시오.

[문항 해설]

비고

∙[활동]에서 지수함수의 그래프를 이용하여 지수에 미지수가 있는 방정식의 해를 구할 수 있음을 알게 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 문항으로 활용할 수 있다. 이때, 학습 부담을 고려하여 지수에만 미지수가 있는 경우로 한정하며, 지수함수의 그래프가 일대일함수이므로 (, , 는 상수)의 근은 개임을 직관적으로 알게 한다.

- 관련 자료 참고:

대수, 미적분Ⅰ,

확률과 통계

영역

[12대수02]

삼각함수

최소 능력의

수행 특성

㉮안내된 절차에 따라 주어진 각을 일반각 또는 호도법으로 나타낼 수 있다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 인 원 에서 호 의 길이가 인 부채꼴 의 중심각의 크기 를 라디안(radian)이라고 합니다.

1. 반지름의 길이가 이고 호 의 길이가 인 부채꼴 의 중심각의 크기를 라디안으로 나타내 보자.

2. 반지름의 길이가 인 원의 둘레의 길이를 에 대한 식으로 나타내 보자. 이때 중심각의 크기를 라디안으로 나타내 보자.

3. 원점 를 중심으로 원 위의 점 가 원의 둘레를 따라 한바퀴 돌았을 때, 생기는 중심각의 크기를 를 사용하여 나타내 보자.

4. 1과 2의 결과를 비교해 보자.

[활동 해설]

1. 반지름의 길이가 이고 호 의 길이가 인 부채꼴 의 중심각의 크기는 라디안이다.

2. 반지름의 길이가 인 원의 둘레의 길이는 이다. 이때, 중심각의 크기는 이다.

3. 원점 를 중심으로 원 위의 점 가 원의 둘레를 따라 한바퀴 돌았을 때, 생기는 중심각의 크기는 이다.

4.

[문항]

※ 다음을 참고하여 육십분법으로 나타낸 각을 호도법으로 나타내시오.

1.

2.

[문항 해설]

1. (라디안)

2. (라디안)

비고

∙[활동]에서 4의 결과를 통해 의 관계가 있음을 직관적으로 이해하게 한다. 이를 바탕으로 호도법과 육십분법 사이의 관계를 알게 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 평가 문항으로 활용할 수 있다. 를 호도법으로 나타내는 문제 등을 추가하여 다룰 수 있다.

- 관련 자료 참고:

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[12대수02]

삼각함수

최소 능력의

수행 특성

㉯안내된 절차에 따라 삼각함수 또는 또는 의 그래프의 일부를 그릴 수 있다.

㉱간단한 예를 통해 삼각함수에 관심을 가진다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 다음은 공학 도구를 이용하여 사인함수의 그래프를 그리는 과정이다. 다음 물음에 답해 보자.

1. 의 범위가 부터 인 함수 의 그래프를 그려 보자.

[활동 해설]

1. 의 범위가 에서 이므로

[문항]

※ 공학 도구를 이용하여 정의역의 범위가 부터 인 탄젠트함수의 그래프를 그리시오.

[문항 해설]

비고

∙알지오매스와 같은 공학 도구를 이용한 [활동]을 통해 삼각함수에 관심을 가지게 한다.

∙[활동]에서 사인함수의 그래프 위의 점을 충분히 많이 나타내는 활동을 통하여 사인함수의 그래프를 그릴 수 있게 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 평가 문항으로 활용할 수 있다. 학생의 수준에 따라 [활동]과 같이 삼각함수의 그래프를 그리는 방법을 안내할 수도 있고, 문항 해결에 어려움을 겪는 경우 사인함수 또는 코사인함수로 제한하여 다룰 수 있다.

- 관련 자료 참고:

영역

[12대수02]

삼각함수

최소 능력의

수행 특성

㉰안내된 절차에 따라 사인법칙 또는 코사인법칙에 관한 간단한 문제해결 과정의 일부를 완성할 수 있다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 다음 그림과 같이 를 지름으로 하는 원에 내접하는 직각삼각형 에서 , 일 때, 물음에 답해 보자.

1. , 의 값을 각각 구해 보자.

2. 1에서 구한 값과 의 값을 비교해 보자.

[활동 해설]

1. 이므로 , 이므로

2. 1에서 구한 값은 와 동일하다.

[문항]

1. 오른쪽 그림과 같이 , , 인 삼각형 가 있다. (가)와 (나)에 알맞은 값을 써넣어 보자.

[문항 해설]

비고

∙[활동]을 통해 삼각형에서 사인법칙이 성립함을 확인할 수 있도록 한다. 이때, 선분을 표현하는 기호 가 학생에게 익숙하지 않을 수 있으므로 는 선분 와 같이 수정하여 표현할 수 있다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 평가 문항으로 활용할 수 있다. 사인법칙을 안내하며 사인법칙에 관한 간단한 문제해결 과정의 일부를 완성할 수 있도록 한다.

- 관련 자료 참고:

대수, 미적분Ⅰ,

확률과 통계

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[12대수03]

수열

최소 능력의

수행 특성

㉮안내된 절차에 따라 주어진 수열의 특정한 항의 값을 구할 수 있다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 다음 그림은 일정한 규칙에 따라 단계별로 바둑돌을 놓은 것이다. <단계>에 놓일 바둑돌의 개수를 구하여 보자.

* 출처: 수학Ⅰ(천재교육, 2017, p. 120)

[활동 해설]

※ 각 단계에 놓인 바둑돌의 개수를 구하면 <단계〉 〈단계〉 〈단계〉 〈단계〉 이므로 〈단계〉에 놓일 바둑돌의 개수는 이다.

[문항]

1. 수열 , … 에서 제4항을 구하시오.

2. 수열의 첫째항부터 제3항까지 나열하시오.

[문항 해설]

1. 수열 …에서 제1항은 5, 제2항은 10, 제3항은 15이다.

따라서 제4항은 20이다.

2. 수열에 대하여 이면 첫째항, 이면 둘째항, 이면 셋째항이므로 첫째항부터 제3항까지를 나열하면 이다.

비고

∙[활동]에서 안내된 절차에 따라 순차적으로 바둑돌을 놓아가면서 삼각형의 한 변의 개수만큼 바둑돌이 늘어나는 규칙을 발견할 수 있도록 하고, 단계별로 필요한 바둑돌의 개수를 파악하며 물음에 답할 수 있도록 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 평가 문항으로 활용할 수 있다. 문항 해결에 어려움을 겪으면 교사의 안내에 따라 수열의 개념을 다시 복습할 수 있도록 한다.

영역

[12대수03]

수열

최소 능력의

수행 특성

㉯안내된 절차에 따라 첫째항과 공차가 주어진 등차수열의 일반항을 구할 수 있다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 첫째항이 , 공차가 인 등차수열 의 각 항은 다음과 같다.

⋮

따라서 일반항 은 다음과 같다.

(단, , , , )

위 내용을 참고하여, 첫째항이 이고 공차가 인 등차수열 {}의 일반항을 구해 보자.

[활동 해설]

※ 일반항을 구하는 방법은 첫째항이 이고, 공차가 일 때 이다. 주어진 조건에서 이므로 이다. 정리하면 일반항은 이다.

[문항]

※ 첫째항이 , 공차가 인 등차수열 의 일반항은

이다.

다음 등차수열 의 일반항을 구하시오.

[문항 해설]

1. 등차수열 {}의 첫째항을 , 공차를 라고 하면 일반항은 이다. 따라서 일반항은 이다.

2. 주어진 수열에서 이므로 이다.

비고

∙[활동]에서는 안내된 절차를 보면서 주어진 첫째항과 공차를 대입하여 일반항을 구할 수 있게 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 평가 문항으로 활용할 수 있다. 문항 해결에 어려움을 겪으면 일반항 구하는 식 를 보면서 해결할 수 있도록 안내한다.

- 관련 자료 참고:

영역

[12대수03]

수열

최소 능력의

수행 특성

㉰안내된 절차에 따라 첫째항과 공비가 주어진 등비수열의 일반항을 구할 수 있다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 첫째항이 , 공비가 인 등비수열 {}에서 각 항은

이므로 일반항은 임을 알 수 있다.

위 내용을 참고하여

첫째항이 9, 공비가 4인 등비수열 {}의 일반항을 구해 보자.

[활동 해설]

※ 일반항을 구하는 방법은 첫째항이 이고, 공비가 일 때 이다.

주어진 조건에서 이므로 일반항은 이다.

[문항]

※ 첫째항이 , 공비가 인 등비수열 의 일반항은 이다. 다음 등비수열 의 일반항을 구하시오.

[문항 해설]

1. 등비수열 {}의 첫째항을 , 공비를 라고 하면 일반항은 이다.

따라서 일반항은 이다.

2. 주어진 수열에서 이므로 이다.

비고

∙[활동]에서는 안내된 절차를 보면서 주어진 첫째항과 공비를 대입하여 일반항을 구할 수 있게 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 평가 문항으로 활용할 수 있다. 문항 해결에 어려움을 겪으면 일반항 구하는 식 을 보면서 해결할 수 있도록 안내한다.

- 관련 자료 참고:

영역

[12대수03]

수열

최소 능력의

수행 특성

㉱를 사용하여 나타낸 합을 를 사용하지 않은 합의 꼴로 나타낼 수 있다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 를 사용하여 나타낸 합을 를 사용하지 않은 합의 꼴로 나타내는 방법에 대하여 알아보자.

위 내용을 참고하여 을 를 사용하지 않은 합의 꼴로 나타내시오.

[활동 해설]

※ 의 에 을 차례로 대입하면 이다.

[문항]

※ 다음을 합의 기호 를 사용하지 않은 합의 꼴로 나타내시오.

[문항 해설]

1. 의 에 를 차례로 대입하면 이다.

2. 의 에 를 차례로 대입하면 이다.

비고

∙[활동]에서 를 사용하여 나타낸 합을 를 사용하지 않은 합의 꼴로 나타내는 방법에 대하여 알아보고, 주어진 식의 에 를 차례로 대입하며 합을 구할 수 있도록 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 평가 문항으로 활용할 수 있다. 문항 해결에 어려움을 겪으면 는 수열의 일반항 의 에 을 차례로 대입하여 해결할 수 있도록 안내한다.

- 관련 자료 참고:

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[12대수03]

수열

최소 능력의

수행 특성

㉲안내된 절차에 따라 간단한 수열의 첫째항부터 특정한 항까지의 합을 구할 수 있다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

1. 위 내용을 활용하여 을 구해 보자.

[활동 해설]

1. 안내된 절차에 따르면 의 일반항은 이고, 을 합의 기호 를 사용하여 나타내면 이다.

[문항]

※ 다음 합을 구하시오.

[문항 해설]

1. 을 합의 기호 를 사용하여 나타내면

이다.

2. 을 합의 기호 를 사용하여 나타내면

이다.

비고

∙[활동]의 자연수 거듭제곱의 합을 구하는 과정에서 변수 에 숫자를 순차적으로 대입하며 과정을 이해하게 할 수 있도록 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 평가 문항으로 활용할 수 있다. 문항을 해결하는 과정에서 과 을 적용하여 구할 수 있도록 한다.

- 관련 자료 참고:

영역

[12대수03]

수열

최소 능력의

수행 특성

㉳안내된 절차에 따라 귀납적으로 정의된 간단한 수열의 특정한 항을 구할 수 있다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 다음 그림과 같이 원 모양의 피자를 원의 중심을 지나는 직선으로 번, 번, 번, 자를 때, 피자 조각의 수를 각각 이라고 하자. 빈칸에 알맞은 수를 써넣으시오.

, , …이니까

야.

* 출처: 수학Ⅰ(비상교육, 2017, p. 145)

[활동 해설]

※ 이때 이므로 , , 이다. 따라서 에 을 차례로 대입하면 임을 알 수 있다.

[문항]

※ 수열 에 대하여 관계식에 을 차례로 대입하여 수열 의 모든 항을 구할 수 있다. 이와 같은 방법으로 다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열 의 제항을 구하시오. (단, )

[문항 해설]

1. 에 을 차례로 대입하면 이므로 , , 이다.

2. 에 을 차례로 대입하면 이므로 , , 이다.

비고

∙[활동] 생활 속에서 활용하는 사례를 통해 처음 몇 개의 항과 이웃하는 여러 항 사이의 관계를 이해할 수 있도록 지도한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 평가 문항으로 활용할 수 있다. 귀납적 정의에 대한 이해를 통해 을 순차적으로 적용하며 문제를 해결할 수 있도록 한다.

대수, 미적분Ⅰ,

확률과 통계

대수, 미적분Ⅰ,

확률과 통계

영역

[12미적Ⅰ-01]

함수의 극한과 연속

최소 능력의 수행 특성

㉮주어진 함수 의 그래프를 보고 의 값을 안다.

㉲무한을 수학적으로 다루는 방법에 대해 관심을 가진다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 다음은 알지오매스를 이용하여 함수 의 그래프에서 의 값이 어떤 수에 한없이 가까워질 때, 의 값은 어떻게 변하는지 탐구하는 과정이다. 다음 물음에 답해 보자.

[그림1]

[그림2]

1. ‘대수창’ 에 “y=x^2+1”을 입력하여 함수 의 그래프를 그려보자.

2. 왼쪽의 메뉴에서 ‘대상 위의 점’ 기능을 이용하여 [그림1]과 같이 함수 의 그래프 위의 점 를 만들어 보자.

3. 왼쪽의 메뉴에서 ‘선택 ’ 기능을 이용하여 [그림1]의 그래프 위의 점 의 좌표가 보다 큰 값을 가지면서 으로 한없이 가까워지도록 마우스를 이용하여 점을 움직여 보자. 이때 점 의 좌표인 의 값은 어떤 값에 한없이 가까워지는지 확인해 보자.

4. [그림2]와 같이 점 의 좌표가 보다 작은 값을 가지면서 으로 한없이 가까워지도록 마우스를 이용하여 점을 움직여 보고 이때 점 의 좌표인 의 값은 어떤 값에 한없이 가까워지는지 확인해 보자.

[활동 해설]

1. 함수 의 그래프가 그려진다.

2. [그림1]과 같이 함수 의 그래프 위의 점 가 만들어진다. 이때 대수창에는 다음과 같이 점 의 좌표가 나타난다.

3. 의 값은 에 한없이 가까워진다.

4. 의 값은 에 한없이 가까워진다.

[문항]

※ 에서 정의된 함수 의 그래프를 보고 다음 극한값을 구하시오.

[문항 해설]

1.

2.

비고

∙[활동]에서 공학 도구를 이용하여 주어진 함수 의 그래프 위의 점을 움직여 보면서 의 값이 로 한없이 가까워질 때 의 값의 변화를 확인해 보게 한다. 이때 의 값도 어떤 수로 한없이 가까워지면 이 수가 임을 알게 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 평가 문항으로 활용할 수 있다. 문항 해결에 어려움을 겪는 경우, 공학 도구를 활용하여 의 값의 변화를 확인할 수 있도록 안내한다.

- 관련 자료 참고:

영역

[12미적Ⅰ-01]

함수의 극한과 연속

최소 능력의 수행 특성

㉯안내된 절차에 따라 간단한 다항함수의 극한값을 구할 수 있다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 두 함수 , 에 대하여 , (는 실수)일 때, 함수의 극한에 대하여 다음과 같은 성질이 성립함이 알려져 있다.

다음은 함수의 극한에 대한 성질을 이용하여 주어진 함수의 극한값을 구하는 과정과 단계별로 사용된 성질을 번호로 표시한 것이다. (가), (나), (다)에 알맞은 수 또는 식을 써넣어보자.

[활동 해설]

※ (가) : (나) : (다) :

[문항]

※ 주어진 함수의 극한에 대한 성질을 이용하여 의 값을 구하시오.

[문항 해설]

※ (㈎ 이용) (㈏ 이용)

비고

∙[활동]에서 함수의 극한에 대한 성질을 알게 하고 이를 이용하여 간단한 다항함수의 극한값을 구할 수 있게 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 평가 문항으로 활용할 수 있다. 이때, 학습 부담을 고려하여 계수가 정수인 일차함수 또는 이차함수에 대한 극한값을 구하는 것으로 한정한다. 문항 해결에 어려움을 느끼는 경우 함수의 극한에 대한 성질을 이용할 수 있도록 안내한다.

- 관련 자료 참고:

영역

[12미적Ⅰ-01]

함수의 극한과 연속

최소 능력의 수행 특성

㉰주어진 함수의 그래프를 보고 함수가 에서 연속인지 불연속인지 안다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 세 함수 , , 의 그래프가 다음과 같다. 다음 물음에 답해 보자.

1. 그래프가 에서 끊어지지 않고 이어진 함수를 찾아보자.

2. 의 값을 구하고, 를 조사해 보자.

3. 의 값을 구하고, 를 조사해 보자.

4. 의 값을 구하고, 를 조사해 보자.

5. 다음은 학생이 1번~4번 문항의 탐구 결과로부터 함수의 연속에 대하여 정리한 자료이다.

중에서 (가), (나), (다)에 알맞은 함수를 써넣어보자.

[활동 해설]

1. 함수 의 그래프는 에서 이어져 있고 , 의 그래프는 에서 끊어져 있다.

2. ,

3. , 은 존재하지 않는다.

4. ,

5. ㈎: ㈏: ㈐:

[문항]

※ 다음 함수의 그래프를 보고 주어진 함수가 에서 연속인지 불연속인지 조사하시오.

[문항 해설]

1. 불연속 2. 불연속 3. 연속

비고

∙[활동]에서 함수의 그래프가 끊어지지 않고 이어진 것을 찾아보게 하고 각 함수의 에서의 극한값과 함숫값을 조사해 보게 한다. 이를 통해 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있음을 연속이라는 수학적 개념으로 이해할 수 있게 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 평가 문항으로 활용할 수 있다. 문항 해결에 어려움을 겪는 경우 주어진 함수의 그래프를 보고 에서의 극한값과 함숫값을 각각 조사해 보도록 안내할 수도 있다.

- 관련 자료 참고:

영역

[12미적Ⅰ-01]

함수의 극한과 연속

최소 능력의 수행 특성

㉱연속함수의 성질을 부분적으로 안다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 다음은 에서 연속인 함수 의 그래프이다. 함수 와 에서 연속인지 탐구하는 두 학생의 대화이다. 다음 물음에 답해 보자.

1. 의 값을 구해 보자.

2. 의 값을 구해 보자.

3. 함수 가 에서 연속인지 확인해 보자.

[활동 해설]

1.

2.

3. 이므로 함수 는 에서 연속이다.

[문항]

※ 두 함수 , 은 에서 연속이다. 다음 함수가 에서 연속인지 판단하시오.

[문항 해설]

1. 에서 함수 , 가 연속이므로 함수 는 에서 연속이다.

2. 에서 함수 , 가 연속이므로 함수 는 에서 연속이다.

3. 에서 함수 , 가 연속이므로 함수 는 에서 연속이다.

4. 에서 함수 , 가 연속이고 이므로 함수 는 에서 연속이다.

비고

∙[활동]에서 연속함수의 성질을 적용하는 상황을 통해 연속함수의 성질을 알게 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 평가 문항으로 활용할 수 있다. 학생의 수준에 따라 간단한 다항함수를 단항식으로 각각 분리하여 에서의 함숫값과 극한값을 비교해 보도록 안내한다.

- 관련 자료 참고:

대수, 미적분Ⅰ,

확률과 통계

영역

[12미적Ⅰ-02]

미분

최소 능력의

수행 특성

㉮안내된 절차에 따라 간단한 일차함수 또는 이차함수의 에서의 미분계수를 구할 수 있다.

㉶간단한 예를 통해 미분에 관심을 가진다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 다음은 미분계수의 정의를 이용하여 이차함수 의 에서의 미분계수를 구하는 과정이다.

부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 카드 중 (가), (나)에 알맞은 수가 적힌 카드가 무엇인지 말해 보자.

[활동 해설]

※ (가)에 적합한 수가 적힌 카드는 , (나)에 적합한 수가 적힌 카드는 이다.

[문항]

※ 다음 미분계수의 정의를 이용하여 미분계수를 구하시오.

1. 함수 의 에서의 미분계수

2. 함수 의 에서의 미분계수

3. 함수 의 에서의 미분계수

4. 함수 의 에서의 미분계수

[문항 해설]

1.

2.

3.

4.

비고

∙[활동]에서 (가), (나)에 알맞은 수가 적힌 카드를 골라보고 이 과정에서 미분계수의 정의에 이에 따라 함수의 미분계수를 구하는 방법을 확인하게 한다.

∙[문항]은 최소 능력의 수행 특성을 묻는 평가 문항으로 활용할 수 있다. 학습 부담을 고려하여 이차함수는 의 계수가 인 경우로 제한하며, 미분계수의 정의를 이용하여 그 값을 구할 수 있도록 한다. 1번~4번 문항 중 1번, 2번 문항 또는 3번, 4번 문항만 해결하여도 최소 능력의 수행 특성을 가진다고 판단할 수 있다. 한편, 미분계수를 정의하는 두 가지 방법 중 [문항 해설]에 제시된 것 이외에 다른 방법을 이용할 수도 있다.

- 관련 자료 참고:

영역

[12미적Ⅰ-02]

미분

최소 능력의

수행 특성

㉯함수의 미분가능성과 연속성의 관계를 제한적으로 안다.

㉶간단한 예를 통해 미분에 관심을 가진다.

교수･학습 및 평가 활동

[활동]

※ 세 함수 , , 의 그래프가 다음 그림과 같다. 그래프 아래에는 세 함수의 에서의 미분가능성과 연속성을 기록하였다.

미분가능, 연속

미분 불가능, 연속

미분 불가능, 불연속

위 그래프를 참고하여 다음 문장이 참이 되도록 (가)와 (나)에 “미분가능”, “연속”을 각각 한 번씩 사용하여 문장을 완성하여 보자.

“어떤 함수가 에서 하면(이면) 이다.”

[활동 해설]

※ (가)에 “미분가능”, (나)에 “연속”을 사용하면 주어진 문장이 참이 된다. 완성된 문장은 다음과 같다. “어떤 함수가 에서 하면 이다.”

[문항]

※ 함수 가 에서 미분가능할 때, 상수 의 값을 구하시오.

[문항 해설]

※ 함수 는 에서 미분가능하므로 에서 연속이다. 따라서 함숫값 과 좌극한 가 서로 같으므로 이다.